ejercicio 2

2.- $\int \frac{xcosx}{(xsenx + cosx -1)^{m}}dx$

solución:

$\int \frac{du}{u^{m}} = \int u^{-m}du = \frac{u^{1-m}}{1-m}+c = \frac{(xsenx +cosx -1)^{1-m}}{1-m} + c$

Primero, analizamos la integral y podemos darnos cuenta que si derivamos los términos de la parte de abajo de la fracción, nos resultará la parte del numerador, para ello hacemos un cambio de variable correspondiente. Para ello tomamos una variable con la que trabajaremos toda la operación, en este caso tomamos la variable que nos servirá para remplazar todos los términos que tenemos en el denominador con excepción del exponente , y nos quedará de la siguiente manera:
Segundo comenzamos derivando ambos términos, y nos resultará de esta forma:
Si se pueden dar cuenta, los términos que están encerrados entre "[ ]", son términos en donde hemos aplicado la regla de derivación de una multiplicación de la expresión: . La regla de derivación de esta expresión dice, que comenzamos derivando el primer término por el segundo sin derivar (más) primer término sin derivar por el segundo término derivando, esto lo podemos expresar de la siguiente forma: , y comenzamos a derivar.
Después de realizar las derivaciones pendientes, obtenemos un resultado la cual es igual al numerador en el ejercicio inicial, .
Una vez sabiendo a qué términos vamos a realizar el cambio de variables, sólo nos falta reemplazarlo en el ejercicio y trabajar con esta variable la cual nos hace más sencillo encontrar la solución de la integral.