Ejercicio 4

4. $\int \frac{dx}{\sqrt{(1+x^{2})\ln{(x + \sqrt{1+x^{2}})}}$

solución:

$u=\ln{(x + \sqrt{1+x^{2}})}$

$du=\frac{dx}{\sqrt{(1+x^{2})$

$\int [\ln{(x+\sqrt{1+x^{2}})}]^{-1/2}. \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}$

$\int u^{-1/2}du= \frac{u^{1/2}}{\frac{1}{2}}+c = 2u^{1/2}+c = 2\sqrt{\ln{(x+\sqrt{1+x^{2}})}}+c$

En primer lugar analizamos la integral, y nos damos cuenta, que podemos separar o acomodar los elementos de la integral como mejor nos parezca para que nos resulte más fácil el desarrollo de la integral.
Para ello hemos acomodado los elementos de la integral como sigue a continuación: $\int [\ln{(x+\sqrt{1+x^{2}})}]^{-1/2}. \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}$ , podemos ver que hemos acomodado nuestro en la parte del numerador pero con exponente (-1/2) negativo puesto que en el denominador esto era positivo y al ponerlo al numerador esto cambia, hemos hecho esto con la finalidad de que cuando hagamos el cambio de variable, nuestra sea nuestro $\ln{(x + \sqrt{1+x^{2}})}$ y la derivada de esto sea $du=\frac{dx}{\sqrt{(1+x^{2})$ , una vez hecho esto comenzamos a reemplazar, y esto nos ayuda a resolverlos de una forma más sencilla la integral.

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