Ejercicio 6

Ejercicio 6

6. $\int \frac{\sqrt[3]{1+\ln{x}}}{x}dx$

solución:

$u= 1+\ln{x}$

$(u)'= \frac{(x)'}{x} ---> du= \frac{dx}{x}$

$\int \sqrt[3]{u}du = \int u^{1/3}du = \frac{u^{4/3}}{\frac{4}{3}}+c = \frac{3}{4}.u^{4/3}+c = \frac{3}{4}(1+\ln{x})^{4/3}+c$

Primer paso analizamos la integral.

Segundo hacemos el cambio de variable correspondiente, así que nuestra variable será igual a $1+\ln{x}$ .

Tercero comenzamos a derivar, y como sabemos por fórmula de derivación, la derivada de una constante en este caso "1" siempre será (0), por lo tanto omitimos este resultado y comenzamos a derivar nuestro $\ln{x}$ , y por fórmula de derivación de un logaritmos tenemos: $y= \ln{(f(x))} --> \frac{dy}{dx}= \frac{f'(x)}{f(x)}$ , aplicamos esta fórmula y obtendremos el resultado $du=\frac{dx}{x}$

Luego comenzamos a reemplazar nuestra variable en la integral y comenzamos a desarrollar de una forma más fácil para encontrar el resultado.

No olvidar que al final nuestro resultado será con nuestra variable, por lo tanto sustituimos por los elementos originales de la integral y esto será nuestro resultado final.

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